...Варден о Математике Древнего Египта, Вавилона и Греци...

Варден, Бартел Лендерт ван дер, (1903-).  Пробуждающаяся наука = Ontwakende wetenschap: математика Древнего Египта, Вавилона и Греции / пер. с голланд., предисл. и заключительная ст. И. Н. Вевеловского. - Изд. 2-е, стер. - Москва: URSS, 2006. - 459 с.

Предисловие

• Рационализм - следствие подъема науки в XVII в.  Аналогию находит в древней Греции (9).  
• (ф-ла) «Основной целью было сделать книгу научной и вместе с тем понятной.  Понятной в том смысле, чтобы каждый учащийся математике в средней школе и интересующийся историей математики мог ее понимать.  Научной в том смысле, чтобы она основывалась на самостоятельном изучении источников и для каждого утверждения давала доказательства, так чтобы читатель сам мог судить о значимости аргументации» (12).  

Египетская и Вавилонская Математика

• До египтян значение «пи» составляло 3.  В т.ч., у Витрувия, у китайцев, у евреев (священное число - Кн. Царей, V, 23)
• Разочарование (несмотря, на Аристотеля и Демокрита).  Греки заимствовали только правила исчисления (еще не математика) и правила вычисления площадей и объемов.  
• Шестидесятеричная система исчисления в Вавилоне (сумерийскя система исчисления) - случайность (у кельтов следующей ступенью после 10 было - 20, у германцев - 50, у египтян - 100).  Возможная связь с денежными единицами.  Влияние на сегодняшнее деление окружностей (70).  
• «Самая важная цифра есть нуль.  Это была гениальная идея - сделать нечто из ничего, дать этому ничто имя и изобрести для него символ.  «Это вроде перечеканки Нирваны в динамомашину», говорит Халстед» (77). У индусов, возможно заимствование у греков.  Аргумент для введения - позиционная система исчисления - чтобы не сбить разряд, необходимо было место, где все вычтено, как-то обозначить - решили кружком (79).  
• Проблемы со свойством этого «ничто» удесерять числа.  Nulla figura на латыни до XV в. - не знак.  И одновременно цифра par excellence - «цифра» от лат. cifra - нуль, араб. al-isfr - пустота.  
• «еще 500 лет тому назад к северу от Альп почти все считали еще на счетной доске и писали числа римскими цифрами» (83).  

Греческая Математика 

• Путешествия в Египет и Вавилон.  Работа на арабских завоевателей.  И Фалес не брал свои выводы из эмпирических наблюдений.  «Тщательно рассматривая  предложения, приписываемый Фалесу, замечаешь, что эти предложения характерны отнюдь не для первых математических открытий, а скорее для систематического логического изложения математики», «характерная и совершенно новая черта греческой математики заключается именно в постепенном переходе при помощи доказательств от одного предложения к другому» (124).  
• Пифагор путешествовал и его теории, как и мистика чисел и вообще весь культ, находят корни на востоке.  Поэтому Гераклит и говорит о «многознании без разума» (132). 
• «Если уменьшить длину струны или флейты вдвое, тон повышается на одну октаву. Совершенно так же, если уменьшать в отношении 3 : 2 и 4 : 3, то этому будут соответствовать интервалы квинта и кварта», важнейшие гармонические интервалы могут быть получены при помощи отношений чисел 1, 2, 3 и 4 - они составляли «тетраду» (ссылка на древнее изречение «Что есть оракул дельфийский?  Тетрада!  Ибо она есть музыкальная гамма сирен» + клятва пифагорейцев «тем, кто вложил в нашу душу тетраду, - источник и корень вечной природы», 132).  
• Завет Пифагора «изучать монохорды» - инструмент, который построен на укорачивании длины струна на соотношении соседних чисел в ряду 1, 2, 3, 4 - что производило тоны, которые были выше соответственно на октаву, квинту и кварту. 
• Традиция приписывает Пифагору также вычисление интервалов диатонической гаммы (133).  
• Разделение между учениками в том, чем считать его учение - мистической философией (религией) или теорией.  В итоге - деление на акузматиков и математиков (Гиппас).  От «mathemata» - отрасль науки, которых было 4 - о числах (арифметика), о музыке (гармония), о фигурах и измерениях (геометрия) и астрономия (астрология).  
• В отношении теории чисел ставит вопрос о том, что заставило отказаться от вавилонской алгебры (которая была главным заимствованием) и облечь ее в геометрическую форму, откуда приверженность всему зримому, осязаемому, отказ от чисел в пользу фигур.  При том, что весь Пифагор строится на числах.   Причина в выявлении иррациональности.  В частности, невозможности выразить длину диагонали через длину стороны квадрата.  Сейчас мы говорим о иррациональном числе «квадрата из 2», но у пифагорейцев число, arithmos означало количество, а следовательно, целое число.  Они знали о иррациональности, но не могли называть его числом в силу терминологической строгости.  Уравнение x в квадрате=2 не может быть разрешено ни в области целых чисел, ни даже в области отношений чисел.  Но оно вполне разрешимо в области прямолинейных отрезков.  
• Многочисленность ученых, занимавшихся стереометрией.  При этом Платона Государстве жалуется на недостаток исследований по стереометрии - вероятно, речь идет о состоянии дел в Академии, а не вообще.  
• Комментирует математические задачки из диалогов Платона, в т.ч. из Теэтета (199), который был самым великим математиком (227). 
• В результате называет 6 проблем, вокруг которых крутилась вся математика древней Греции во время золотого века (V в до н.э.). 
• Платон настаивал на математике как поле идеальных сущностей, где мыслит душа, поле идей (206).  + идея о том, что доказательство ad absurdum, на котором построена энтелехия (основной метод Платона, не диалектика), заимствован из математики.  Платон не раз приводит доказательство несоразмеримости сторон и диагонали квадрата как типичный пример математического доказательства, который при этом показывает, что это сведение к абсурду дает доступ к «вещам самим по себе», математика учит рассуждать именно о них (207).  И математика приходит в поздних диалогах (без доказательства и без ссылок).  
• Дает комментарий к Послесловию к Законам Платона, курсе математики для будущих руководителей идеального государства (215).  Это математика Архита Таренского, который был важной фигурой.  
• Евдокс - второй главнейший математик.  
• В отношении Автолика дает характеристику идеальной астрономии Платона - «чистая кинематика точек и кругов на равномерно вращающейся сфере» (267).  
• Начала Евклида (268).  

Александрийская Эпоха

• Астрономия Аристарха Самосского - о вращении Земли вокруг солнца и связанные с этим противоречия. 
• Архимед (287).  Изобретения были побочным эффектом его занятий чистой математикой - в противоположность образу изобретателя.  
• Упадок 
• Причины не могут быть только во внешних факторах, поскольку астрономия, которая испытывала их же, не приходила в упадок.  
• Причина в том, что алгебра строилась на основании геометрии - следовательно исключала иррациональные числа, т.е. часть явлений просто выпадала из исследования, поскольку не могла быть «представлена» числом (359).  А кроме того письменное изложение (вместо алгебраической формулы) препятствует экономике знания (360).  
• Папп Алексадринский - главный комментатор греческих математических текстов (385).  

Учение о Гармонии 

• Позволяет исследовать соотношение опыта, рассуждения и эксперимента. 
• Отличие «созвучного интервала» пифагорейцев от нашего консонанса.  Первое обозначает два звука, которые при одновременном возникновении сливаются «в единое впечатление» (398), октава, квинта, кварта и их производные.  Теория о созвучиях доказывается через соотношение чисел, представление тонов числами и музыкальными интервалами - у Евклида и Птолемея.  
• Отвергает опытный путь установления - анекдот про звучание молотов разной тяжести и струн разного натяжения (402).  
• Гипотеза в Музыкальных проблемах псевдо-Аристотеля более достоверная.  Делает попытку локализовать этот текст (404).  В тексте есть опытные основания - напр., если ущипнуть половину струны, то она будет звучать в октаву со всей струной.  Эти опыты достоверны, что подтверждает эмпирическую природу числовых законов пифагорейцев.  Но опыт давал ненадежные результаты, что спровоцировало акцент на более абстрактных основаниях.  И эти основания заимствуют из опыта только то обстоятельство, что музыкальные тона вообще можно измерять числами.  Остальное - спекуляция - что консонантные интервалы могут соответствовать только эпиморным или кратным отношениям или что октава - самый прекрасный интервал - должна соответствовать простейшему после равенства числовому соотношению 2 : 1.  Остальное выведено из этих постулатов.  Соответствие тонов числам - произвольно (не является вопросом пифагорейцев, скорее интересовались соотношением звука и силы, воздействия, но и со скоростью распространения - более сильное дает более высокий звук) - у некоторых более высоким соответствуют большие, у некоторых - меньшие числа, «для теоретического вывода числовых отношений консонансов безразлично, какую из двух систем соответствия выбирать» (407). 
• Число важнее опыта, 2 : 1 - не только результат измерения длины струн, но и «выражение внутренней сущности интервала в октаву…  эта внутренняя сущность будет всегда обнаруживаться, когда мы каким-нибудь образом будем выражать тона при помощи сравнимых чисел, причем совершенно безразлично, будут ли эти числа выражать длины, веса или скорости» (408).  
• Только в Государстве Платон говорит о действительно слышимых консонансах.  Этот же кусок дает пояснение к понятию «измерение интервалов» у Платона, т.е. просто их представление через числа.  
• Рожденная из эксперимента числовая теория музыки не учитывала несовершенство эксперимента - точность пришла позднее (410).  
• Идея средних (арифметическая и гармоническая) - у Архита. Дает деление октавы на кварту и квинту.  Если среднее, которое дало квинту и кварту (3 : 2 и 4 : 3) еще раз прилагается к этим отношениям (т.е. делим их еще раз гармонически), «получается вся благозвучная связь музыки, именно все основные интервалы трех тональностей» (421).  
• Тон - разница между квинтой и квартой.  
• Завершением этой теории стала теория гармонии Птолемея.